1.5 Свойства флюидов и породы

Нелинейный характер уравнений и методов, применяемых для их решения, во многом зависят от функциональных соотношений, которые определяют свойства жидкостей и породы в зависимости от искомых переменных: давлений, насыщенностей, температур. Рассмотрим кратко зависимости плотности жидкости ρ, коэффициента пористости ϕ, вязкости жидкости μ и коэффициента проницаемости k от давления при изотермической проницаемости

Плотность флюидов. При изотермическом процессе зависимость плотности однородной жидкости от давления представляет собой уравнение состояния (1.16), где сжимаемость жидкости cf, также называемый коэффициентом объемного сжатия, обычно считается универсальной постоянной, то есть он не зависит ни от температуры, ни от давления, но для разных жидкостей он принимает разные значения:

для различных нефтей российских месторождений:

co = (7 - 30)⋅10-10 Па- 1,

для пластовых вод:

               -10   -1
cw = (2,7- 5)⋅10   Па  .

Зависимость плотности реального газа от давления представляет собой уравнение (1.34), где коэффициент сверхсжимаемости учитывает отклонения состояния реального газа от предписываемого уравнением состояния для совершенного газа. Коэффициент Z зависит от приведенных значений давления pr и температуры Tr:

p  = p-,  T  = T-
 r   pc    r   Tc
(1.59)

и может быть определен как аналитически, так и графически с помощью графиков Д. Брауна, представленных на рис.1.1. В равенствах (1.59) pc и Tc —- среднекритические давление и температура. Как известно, природный газ состоит из различных компонентов (метан, этан, пропан и др.), и среднекритические давление и температура определяются по формулам

     ∑              ∑
     --njpc.j-       --njTc.j-
pc =  ∑  nj ,  Tc =  ∑ nj

где nj – содержание j-го компонента в газе, в объемных процентах, pc.j и Tc.j —- критические давление и температура j-го компонента, соответственно.

Для изотермических фильтрационных течений величина RT постоянна и для уравнения состояния реального газа может быть определена при стандартных условиях

pSTC-= Z (pSTC )RT.
ρSTC

Уравнение состояния реального газа в этом случае примет вид

    ρSTCZ (pSTC)p
ρ = --p---Z-(p).--
       STC
(1.60)

Зависимость Z(p) при постоянной температуре можно считать линейной при малых изменениях давления

Z = Z0[1 - aZ(p0 - p)],
(1.61)

где Z0 – коэффициент сверхсжимаемости при p = p0, и экспоненциальной при больших изменениях давления

Z = Z0e-aZ(p0-p),
(1.62)

причем константа aZ должна быть подобрана так, чтобы кривая (1.61) или (1.62) как можно ближе подходила к соответствующей эмпирической кривой на графиках Д.Брауна для Z = Z(p).

Также для вычисления коэффициента Z можно воспользоваться формулой Латонова-Гуревича:

                      pr
Z = [0,17376lnTr + 0,73]  + 0,1pr.
(1.63)

Здесь был приведен простейший способ учета изменения свойств реального газа при изменении давления и температуры. В сложных термобарических условиях, при фильтрации многокомпонентных газов следует пользоваться более совершенными уравнениями состояния.


PIC

Рис. 1.1: Зависимость коэффициента сверхсжимаемости от приведенного давления и температуры для природного газа


Плотности пластовых флюидов кроме этого могут быть определены с помощью объемного коэффициента B, равного отношению объема флюида, измеренного при пластовых условиях, к объему, измеренному при стандартных условиях:

ρ = ρSTC-.
     B
(1.64)

Зависимость объемного коэффициента от давления можно также вывести из уравнения состояния (1.16):

     1∂ ρ      1∂B
cf = ρ∂p-|T = -B--∂p |T
(1.65)

Интегрируя это уравнение и при малых изменениях давления получим

B = B0[1- cf(p- p0)],
(1.66)

и при больших изменениях

B = B0e- cf(p- p0),
(1.67)

где B0 – значение объемного коэффициента при давлении p0.

Вязкости флюидов. Эксперименты показывают, что коэффициенты вязкости нефти (при давлениях выше давления насыщения) и газа увеличиваются с повышением давления. При изменении давления в значительных пределах (до 100 МПа) зависимость вязкости пластовых нефтей и природных газов от давления можно принять экспоненциальной:

μ = μ0e- aμ(p0 - p).
(1.68)

При малых изменениях давления эта зависимость имеет линейный характер:

μ = μ0[1 - aμ(p0 - p)],
(1.69)

где μ0 – вязкость при фиксированном давлении p0, aμ – коэффициент, определяемый экспериментально и зависящий от состава нефти или газа.

Пористость. Чтобы выяснить, как зависит от давления коэффициент пористости, рассмотрим вопрос о напряжениях, действующих в пористой среде, заполненной жидкостью.

Масса горных пород, расположенных над кровлей продуктивного пласта, создает, так называемое, горное давление ps, которое обычно можно считать неизменным в процессе разработки пласта. Горное давление определяется по формуле ps = ρsgH, где ρs – средняя плотность горных пород, слагающих вышележащие пласты, H – глубина залегания пласта. Если предположить, что кровля и подошва пласта абсолютно непроницаемы и полностью воспринимают нагрузку вышележащих пород, то горное давление уравновешивается напряжением в скелете пласта σ и пластовым давлением :

ps = (1- ϕ)σ+ ϕp.
(1.70)

Здесь σ – истинное напряжение в скелете пористой среды, рассчитанное на единицу горизонтальной площади, мысленно выделенной в любой точке пласта; оно действует на части площади (1 - ϕ); пластовое давление действует на остальной части площади ϕ. Удобнее ввести, так называемое, эффективное напряжение σ, определяемое как разность напряжений в твердом скелете и жидкой фазе и связанное с истинным напряжением соотношением

σ ′ = (1 - ϕ)(σ - p).
(1.71)

Тогда из (1.70) следует, что

p = σ′ + p.
 s
(1.72)

Эффективное напряжение физически интерпретируется как та часть истинного напряжения а в твердой фазе, которая передается по контакту между зернами скелета, не зависит от жидкости и будет иметь место также в сухой пористой среде.

При разработке залежи пластовое давление падает, и напряжение в скелете σвозрастает.

Изменение пористости обусловлено как изменением пластового давления p, так и изменением эффективного напряжения σ: ϕ = ϕ(p, σ). При падении давления уменьшаются усилия, сжимающие каждое из зерен породы, поэтому увеличивается объем зерен и уменьшается объем пор. Увеличение σприводит к тому, что зерна породы испытывают дополнительную деформацию-поверхность контактов между зернами увеличивается, происходит уплотнение упаковки зерен, возможна также перегруппировка зерен, разрушение цементирующего вещества и самих зерен, дробление зерен и т.д.

В тех случаях, когда ps = const, обычно принимают, что пористость зависит только от давления: ϕ = ϕ(p).

Вследствие малой деформации твердой фазы считают обычно, что изменение пористости зависит от изменения давления линейно. Закон сжимаемости породы выражается через уравнение (1.25). При больших изменениях давления зависимость пористости от давления выражается через уравнение (1.26), а при малых – (1.27).

Абсолютная проницаемость. Экспериментами установлено, что не только пористость, но и проницаемость существенно меняется с изменением пластового давления, причем часто проницаемость изменяется в более сильной степени, чем пористость. При малых изменениях давления эта зависимость может быть принята линейной

k = k0[1 - ak(p - p0)],
(1.73)

а при больших —- экспоненциальной

k = k0e-ak(p-p0)
(1.74)

Капиллярное давление. Для фильтрации двухфазного жидкости типичная кривая капиллярного давления показана на рис.1.2.


PIC

Рис. 1.2: Кривая капиллярного давления


Капиллярное давление зависит от насыщенности смачивающим флюидом и направления ее изменения (кривая вытеснения или пропитки). Давление pcb, необходимое для начала процесса вытеснения, называется пороговым. Оно существенно для низкопроницаемых пород. Насыщенность, при которой смачивающая фаза больше не вытесняется при действии градиента давления, называется остаточной насыщенностью. Теоретически кривая pc должна выходить на асимптоту при этом значении насыщенности, чтобы градиент давления изменялся непрерывно в обеих фазах. Это следует из анализа вертикального гравитационного равновесия. Аналогичная ситуация наблюдается на другом конце кривой в ходе цикла пропитки вблизи точки остаточной насыщенности несмачивающей фазой.

При задании капиллярного давления обычно определяется безразмерная функция насыщенности смачивающей фазой – функция Леверетта J(s), которая устанавливает связь между капиллярным давлением pc, проницаемостью и пористостью среды:

           ∘ --
J(s) =--pc--  k.
      δcosθ   ϕ
(1.75)

где δ – коэффициент межфазного натяжения, θ – краевой угол смачивания.

При исследовании трехфазной фильтрации обычно предполагается, что капиллярное давление на границе нефть-вода pow зависит только от водонасыщенности, а на границе нефть-газ pgo – только от газонасыщенности:

pow = pow(sw),   pgo = pgo(sg)
(1.76)

Относительная проницаемость На рис. 1.3 показаны типичные зависимости, которые можно получить для водо-нефтяной системы при вытеснении нефти водой. Насыщенность Sw, при которой начинает двигаться вода, называется критической Swc. Насыщенность Soc, при которой перестает двигаться вытесняемая фаза, называется остаточной. Аналогично насыщенности в цикле дренирования: Soc – критическая; Swc – остаточная. Поскольку крутизна кривых капиллярного давления, используемых в численных моделях, при критических насыщенностях должна быть конечной, для определения насыщенности, при которой вытесняемая фаза становится неподвижной, нельзя использовать саму кривую капиллярного давления. По этой причине критическая насыщенность определяется остаточной насыщенностью, при которой относительная проницаемость становится равной нулю. В терминах обобщенного закона Дарси это означает, что фаза перестает двигаться вследствие нулевой подвижности, а не в результате того, что внешняя сила равна нулю. Следовательно, нет необходимости различать критическую и остаточную насыщенности.


PIC

Рис. 1.3: Кривые относительных фазовых проницаемостей


Как показывают опыты и анализ размерностей, относительные проницаемости не зависят от размеров пор, но могут зависеть от их формы и распределения. Поэтому кривые одинаковы для определенных групп, сходных по структуре пористых сред.

В гидродинамических расчетах часто удобно пользоваться эмпирическими зависимостями значений относительной фазовой проницаемости от насыщенности, полученными из экспериментальных данных. Рассмотрим эмпирические формулы, полученные Ч которые можно применять при оценочных расчетах.

1. Для воды и нефти (s – водонасыщенность):

        {
krw (s) =    s-00,2,3,5  пр и 0 ≤ s ≤ 0,2,
          (-0,8-)  , пр и 0,2 ≤ s ≤ 1;
(1.77)

       {
          (0,805,8-5s)2,8(1 + 2,4s), при 0 ≤ s ≤ 0,85,
kro(s) =           0,         при 0,85 ≤ s ≤ 1.
(1.78)

2. Для газа и воды (s – газонасыщенность):

       {
                0,         при 0 ≤ s ≤ 0,1,
krg(s) =   (s--0,1)3,5(4 + 3s),  при 0,1 ≤ s ≤ 1;
            0,9
(1.79)

        {
          (0,80-,8s)3,5, пр и 0 ≤ s ≤ 0,8,
krw (s) =       0,    пр и 0,8 ≤ s ≤ 1.
(1.80)

Практические относительные проницаемости для трехфазных систем определяют по данным об относительной проницаемости. В двухфазной системе нефть-вода

krow = f (sw)
(1.81)

и в двухфазной системе нефть-газ

krog = f (sg)
(1.82)

Кроме того, для определения зависимости между относительными фазовыми проницаемостями и насыщенностью можно применять формулы Брукса-Ко:

       2+3θ
krw = se--θ ,
(1.83)

kro = (1- se)2(1 - se2+3θθ),
(1.84)

где se – эффективная насыщенность,

      s  - s
se =---w---rw--,  srw ≤ sw ≤ srn,
    1 - srw - sro
и θ - постоянный коэффициент.

Так же, по формулам Брукса-Кори можно определить зависимость капиллярного давления от насыщенности и порогового давления pcb

              1
pc(sw ) = pcbsw- θ.
(1.85)