1.4 Основные уравнения двухфазной фильтрации

Рассмотрим теперь двухфазную фильтрацию. Предполагаем, что одна из фаз больше смачивает пористую среду, чем другая. Индексы w и o обозначают соответственно смачивающую (воду) и несмачивающую (нефть) фазы.

Уравнение закона Дарси (1.13) можно подставить в уравнение сохранения массы (1.7) и получить следующие уравнения фильтрации для нефти:

∇ ⋅kρokro(∇po + γo∇z) = ∂-(ρoSoϕ)+ ˜qo,
      μo                ∂t
(1.39)

для воды

∇ ⋅kρwkrw-(∇p  + γ ∇z) = ∂-(ρ S  ϕ)+ ˜q ,
     μw      w    w      ∂t  w w      w
(1.40)

В то время как для описания однофазной фильтрации уравнения сохранения массы достаточно (с единственной зависимой переменной p), для двухфазной фильтрации нужны дополнительные соотношения. Уравнения (1.39) и (1.40) содержат четыре зависимых переменных (давления и насыщенности фаз). Для полного описания введем два дополнительных соотношения.

Предполагая, что двухфазная система занимает все поровое пространство, запишем:

Sw + So = 1.
(1.41)

Вследствие наличия поверхностного натяжения между границами раздела двух фаз, давление смачивающей фазы меньше, чем несмачивающей. Эта разность давлений определяется как капиллярное давление:

pc = po - pw = f (Sw ).
(1.42)

Соотношения между капиллярными давлениями и насыщенностями обычно получают опытным путем.

Получим несколько альтернативных формулировок дифференциальных уравнений (1.39) – (1.42)

1.4.1 Формулировка через фазовое давление

Пусть давление нефтяной фазы и водонасыщенность будут основными перемнными:

p = po,   S = Sw.
(1.43)

Введем следующие обозначения:
λl – фазовая подвижность:

λl = krl,    l = w,o,
     μl
(1.44)

λ – общая подвижность:

λ = λ  + λ ,
     w    o
(1.45)

fl –доля фазы в двухфазном потоке:

fl = λl,   l = w,o.
    λ
(1.46)

и u – суммарная скорость потока:

u = uw + uo.
(1.47)

Предположим, что жидкости несжимаемые. Тогда после сложения уравнений сохранения массы нефти и воды (1.7) с использованием соотношения (1.41) получим:

∇ ⋅u = qw + qo = q.
(1.48)

где qw = ˜q w∕ρw и qo = ˜q o∕ρo.

Воспользовавшись уравнениями Дарси для нефтяной и водяной фазы (1.13) получим следующее соотношения для суммарной скорости:

u = - k[λ∇p - λw ∇pc - (γwλw + γoλo)∇z ].
(1.49)

Подставив (1.49) в (1.48), получим эллиптическое уравнение для давления:

- ∇ ⋅(kλ∇p) = q- ∇ ⋅(k (λw ∇pc + (γwλw - γoλo)∇z )).
(1.50)

Выразим фазовые скорости uw, uo через суммарную скорость u:

uo = fou- kfoλw(∇pc + (γo - γw)∇z ),
(1.51)

uw = fwu +kfw λo(∇pc + (γw - γo)∇z).
(1.52)

После подстановки уравнения (1.52) в уравнения сохранения массы для воды (1.7) получаем следующее параболическое уравнение для определения насыщенности:

 ∂S-            dpc
ϕ ∂t + ∇ ⋅[kfwλo(dS ∇S + (γo - γw)∇z )+fwu ]= qw.
(1.53)

1.4.2 Формулировка через взвешенное давление

Введем понятие взвешенного давления

p = Swpw + Sopo.
(1.54)

Применяя такие же алгебраические манипуляции, как и при получении первой формулировки, получим следующее уравнение для давления:

∇ ⋅(- k[λ∇p + (Sλ - λw)∇pc + λpc∇S - (γwλw + γoλo)∇z])= q.
(1.55)

Уравнения для насыщенности получается аналогично.

1.4.3 Формулировка через глобальное давление

Введем понятие глобального давления

       ∫ S
p = p -   (f dpc)(ξ)dξ.
    0       w dS
(1.56)

Производную от глобального давления можно записать в виде

∇p = fw∇pw  +fo∇po.
(1.57)

Используя это давление, уравнение для давления примет вид

∇ ⋅(- k[λ∇p - (γwλw + γoλo)∇z ])= q.
(1.58)

Уравнения для насыщенности получается аналогично.