1.3 Основные уравнения однофазной фильтрации

Уравнение однофазной фильтрации флюида в пористой среде образуется путем объединения уравнения сохранения массы и уравнения Дарси. При изотермической фильтрации плотность жидкости выражается явно или неявно как функция давления с помощью уравнения состояния.

Общее уравнение для сжимаемых жидкостей получаем, подставлив (1.10) в (1.4):

    ρk             ∂
∇ ⋅(--(∇p - γ ∇z))=--(ρϕ)+ ˜q
    μ              ∂t
(1.15)

Уравнение состояния выражается в помощью сжимаемости жидкости cf:

      1 ∂V     1∂ ρ
cf = ------|T= ----,
      V ∂p     ρ∂p
(1.16)

при фиксированной температуре . Объединение (1.15) и (1.16) дает замкнутую систему для главного неизвестного p.

Часто уравнение (1.15) удобно писать без явного проявления гравитации с помощью введения псевдопотенциала:

    ∫ p
Φ′ =    -1--dξ - z
     p0 ρ(ξ)℘
(1.17)

где p0 – базовое давление. Используя (1.17), уравнения (1.15) приводится к следующему виду

∇ ⋅(ργk-∇Φ ′)= ∂-(ϕρ)+ ˜q
     μ        ∂t
(1.18)

При численных вычисления, часто используется действительный потенциал (пьезометрический напор)

Φ = p- γz,
(1.19)

который связан с Φсоотношением

      ′
Φ = γΦ ,

Тогда уравнение (1.18) становится

∇ ⋅(ρk-▽ Φ )=  ∂ϕρ+ q˜.
    μ        ∂t
(1.20)

1.3.1 Фильтрация несжимаемой жидкости

Когда порода и жидкость несжимаемые, плотность ρ и пористость ϕ принимаются постоянными. В этом случае, уравнение (1.15) приводится к виду

∇ ⋅(ρk-(∇p - γ∇z ))= q˜,
     μ
(1.21)

Уравнение (1.21) является эллиптическим уравнение относительно Φ. Для фильтрации несжимаемой жидкости в однородной и изотропной среде с постоянной вязкостью уравнение (1.21), пренебрегая гравитацией, можно упростить до

     μ˜q-
Δp = ρk,
(1.22)

Уравнение (1.22) является уравнением Пуассона относительно p. Если внешние истоки или стоки отсутствуют, то получаем уравнение Лапласа.

1.3.2 Фильтрация слабосжимаемой жидкости

При исследовании фильтрации жидкости часто можно предположить, что сжимаемость жидкости cf постоянна во всем определенном диапазоне давлений. Тогда, после интегрирования, мы напишем (1.16) как

ρ = ρ0ecf(p-p0)
(1.23)

где ρ0 – плотность при некотором характерном давлении p0. Разложим уравнение (1.23) в ряд Тейлора:

                     1
ρ = ρ0(1+ cf(p- p0)+--c2f(p- p0)2 + ...),
                    2!

При малых изменениях давления можно учитывать только первые два члена разложения:

ρ ≈ ρ0(1 + cf(p- p0)).
(1.24)

Если при изменении давления изменение порового объема значительно, его нужно учесть, используя понятие сжимаемости породы:

cR = 1∂-ϕ.
     ϕ∂p
(1.25)

После интегрирования (1.25), получаем

            0
ϕ = ϕ0ecR(p-p),
(1.26)

где ϕ0 – пористость при давлении p0. Аналогично, уравнение (1.26) аппроксимируется при малых изменениях давления

ϕ ≈ ϕ0(1 + cR (p - p0)).
(1.27)

Из уравнения (1.27) следует, что

dϕ-= ϕ0c .
dp      R
(1.28)

После выполнения дифференцирования по времени левой стороны уравнения (1.15), это уравнение примет вид

   ρk                ∂ρ   dϕ  ∂p
∇ ⋅(---(∇p - γ∇z ))= (ϕ --+ ρ---)--+ q˜.
    μ                ∂p    dp ∂t
(1.29)

Подстановка (1.16) и (1.28) в уравнение (1.29) дает

    ρk                     0   ∂p
∇ ⋅(-μ (∇p - γ∇z ))= ρ(ϕcf + ϕ cR)∂t-+ ˜q.

Определяя общую сжимаемость, как

          0
ct = cf + ϕ cR,
         ϕ
(1.30)

мы видим, что

∇ ⋅(ρk(∇p - γ∇z ))= ϕρct∂p-+ ˜q.
     μ                 ∂t
(1.31)

Уравнение (1.31) является параболическим уравнением относительно p.

1.3.3 Фильтрация газа

Для течения газа, его сжимаемость cg обычно не принимают постоянной. В таком случае уравнение фильтрации (1.29) можно записать следующим образом

∇ ⋅(ρk-(∇p - γ∇z ))= c(p)∂p-+q˜.
     μ                 ∂t
(1.32)

где

c(p) = ϕ∂ρ-+ ρdϕ-
       ∂p    dp
(1.33)

Друая форма уравнения (1.32) можно получить, используя закон реального газа

    -pW--
ρ = ZRT  ,
(1.34)

где W – молекулярный вес, Z – коэффициент сверхсжимаемости газа, R – универсальная газовая постоянная. Для фильтрации газа, гравитационная постоянная обычно мала и пренебрегается. Мы принимаем, что пористая среда изотропная, т.е. ⃗k = k⃗I , где ⃗I – единичный тензор. Кроме того, мы принимаем, что ϕ и μ постоянные. Затем, подставляя (1.34) в (1.15), получим

∇ ⋅(-p-∇p)= ϕ-∂-(p)+ RT-˜q.
    μZ      k ∂t Z   W k
(1.35)

Заметим, что 2pp = p2, значит (1.35) станет

  2       d 1    2   2μZ ϕ ∂  p   2μZRT
Δp  +2pZ dp(Z-|∇p |)= --k--∂t(Z-)+ -W-k--˜q.
(1.36)

Так как

     1dρ    1   1-dZ-
cg = ρdp|T= p - Z dp ,

имеем

∂- p-   pcg-∂p-
∂t(Z )=  Z  ∂t.

Вставляя это уравнение в (1.36) и пренебрегая |∇p|2 (слишком мал по сравнению с другими членами в (1.36)), получаем

       μc ϕ∂p2   2μZRT
Δp2 =  --g---- + ------q˜,
        k   ∂t    W  k
(1.37)

Уравнение (1.37) является параболическим уравнением относительно p2.

Существует другой способ, чтобы получить уравнение подобное (1.37). Определим псевдодавление через

     ∫ p p
ψ = 2   ---dp.
      p0Z μ

Заметим, что

∇ψ = -2p∇p,   ∂ψ- = 2p-∂p.
     Z μ       ∂t   Zμ ∂t

Уравнение (1.35) преобразуется

      μcgϕ∂ ψ   2RT
Δ ψ = -k---∂t + W-k-˜q.
(1.38)

Вывод уравнения (1.38) не требует пренебрежения вторым членом правой части уравнения (1.36).