1.2 Закон Дарси

1.2.1 Однофазная фильтрация

Закон Дарси выражает зависимость между скоростью фильтрации и градиентом давления в каждой фазе. Такое соотношение было установлено Дарси (1856) для однофазной фильтрации. Дифференциальная форма этого соотношения имеет вид

u = - k-(∇p + ρg)
     μ
(1.8)

где k – тензор абсолютной проницаемости пористой среды; μ – вязкость флюида; g – вектор ускорения свободного падения. Если координата z отсчитывается вниз по вертикали, можно написать

ρg = - ρg∇z = - γ∇z
(1.9)

С учетом определения γ закон Дарси можно записать следующим образом:

      k
u = - μ (∇p - γ∇z )
(1.10)

Тензор проницаемости, используемый в уравнении (1.8), в большинстве практических задач можно (или необходимо) считать диагональным тензором:

   ⌊          ⌋
     kx  0   0
k = ⌈ 0  ky  0⌉
     0   0  kz
(1.11)

Если kx = ky = kz, среда называется изотропной, в противном случае – анизотропной.

1.2.2 Многофазная фильтрация

Данный закон можно распространить и на случай одновременного течения более чем одной фазы

      kkrl
ul = - μl (∇pl + ρlg)
(1.12)

где l – соответствует o, w, g (нефтяной, водной и газовой фазам); krl – относительная проницаемость для фазы l.

Уравнение (1.12) можно также записать с учетом γl

ul = - kkrl(∇pl + γl∇z)
       μl
(1.13)

где

γl = ρlg
(1.14)

При этом ось z направлена вниз по вертикали. Если скорость измеряется в см/с, вязкость в мПас, а градиент давления в кПа, то k будет измеряться в единицах, получивших наименование “дарси” (Д).

Закон Дарси распространяется только на ньютоновские жидкости в некотором ограниченном диапазоне скоростей фильтрации, в котором турбулентность, инерционные и другие высокоскоростные эффекты пренебрежимо малы. Кроме того, при очень низких давлениях этот закон не справедлив вследствие явления проскальзывания.