1.1 Закон сохранения массы

1.1.1 Однофазная фильтрация

В основе рассмотрения лежит подход при котором реальная пористая среда рассматривается как сплошная среда – фиктивный континуум, для каждой точки которого можно определить переменные и параметры как непрерывные функции пространственных и временной координат. Значения физических переменных и параметров в точке пористой среды характеризуются представительными значениями для элементарного объема, содержащего эту точку. Элементарный объем должен быть достаточно большим по сравнению с размером пор и малым по сравнению с размерами пласта. Пористость определяется как доля элементарного объема, не занятая твердой матрицей.

Тогда, если рассматривать фильтрацию одного флюида (один компонент или однородная смесь) в цилиндрическом керне в направлении его оси, можно получить уравнение сохранения массы для данной системы:

  ∂ ˙m    ∂
- --x-= -- (ρϕ )+ ˜q
  ∂x    ∂t
(1.1)

Здесь x – составляющая вектора потока массы флюида (расход массы через единицу площади в единицу времени) плотностью ρ (одна фаза, одна компонента) по оси x; ϕ – пористость; q – интенсивность стока (масса единицы объема в единицу времени);

В случае источника q отрицательно, так как предполагается, что оно положительно для стока.

Можно выразить поток массы через кажущуюся скорость (или скорость фильтрации):

˙m  = ρu
 x     x
(1.2)

где ux – скорость фильтрации флюида в направлении оси х, определяемая уравнением (1.2). Подставляя уравнение (1.2) в (1.1), получим

 ∂ρux-   ∂-
- ∂x  =  ∂t (ρϕ)+ ˜q
(1.3)

Cоответствующее уравнение для трехмерного течения в пористой среде произвольной формы можно получить аналогичным образом при рассмотрении элементарного объема ΔxΔyΔz в декартовой системе координат. В результате получим

 (  ∂       ∂       ∂   )    ∂
-  ∂x-ρux + ∂yρuy + ∂zρuz = ∂t (ρϕ)+ ˜q

Уравнение можно записать в более общем виде:

- ∇ ⋅ρu = ∂-(ρϕ)+ ˜q
          ∂t
(1.4)

Оператор дивергенции в левой части уравнения  (1.4) может быть раскрыт в системе координат. Например, в цилиндрических координатах (r,θ,z) уравнение сохранения массы имеет вид

  (                       )
   1 ∂ρrur  1 ∂ρuθ-  1∂ρuz-   -∂
-  r  ∂r  + r  ∂θ +  r ∂z   = ∂t (ρϕ )+ ˜q
(1.5)

1.1.2 Многофазная фильтрация

Уравнение сохранения массы (1.4) для однофазного течения можно обобщить следующим образом:

- ∇ml = ∂-(ml-)+ ˜ql
          ∂t
(1.6)

где ml – поток массы компонента l; ml – масса компонента l в элементарном объеме среды; ∇⋅ml – скорость истечения массы из единицы объема.

Через скорость фильтрации уравнение (1.6) можно записать в виде:

- ∇ ⋅ρlul = ∂-(ρlSlϕ) +q˜l
           ∂t
(1.7)

где ρl – плотность компонента l; ul – скорость фильтрации компонента l, Sl – насыщенность компонентом l, т.е. доля порового объема, занятого компонентом l. Очевидно, что lSl = 1.